Subgrup Siklik & Diagram Lattice-nya

Dalam membuat diagram lattice, terlebih dahulu kita perlu mengetahui semua subgrupnya.

Untuk menentukan subgrup-subgrup dari sebuah subgrup silklik (khususnya untuk grup silkik yang berhingga), kita dapat menggunakan bantuan lemma teorema yang berbunyi:

Teorema

Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik.

Lemma

Jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relatif prim, yang mana berarti pembagi suku terbesar dari n dan r adalah 1.

Contoh

Tentukan semua subgrup dari Z18 dan dan buat diagram lattice-nya.

Kita ketahui bahwa Z18= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17}

Menurut lemma di atas, 1,5,7,11, 13, dan 17 semuanya adalah pembangun Z18.

Kemudian, kita lihat bahwa angka 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, dan 16 semuanya bukan merupakan pembangun dari Z18, angka-angka inilah yang akan membantu kita dalam membuat subgrup dari Z18.

Kita mulai dari 2, dimana

<2> = {0,2,4,6,8,10,12,14,16}

adalah subgrup berorder 9 dan memiliki pembangun yang berbentuk h2, dimana h relatif prim dengan 9, yakni h= 1,2,4,5,7, dan 8, sehingga h2 = 2,4,8,10,14, dan16. karena elemen 6 Є <2> bukan merupakan pembangun dari <2>, maka selanjutnya tentukan elemen-elemen yang dibangun oleh 6, yaitu {0,6,12}, 12 juga mupakan pembangun dari subgrup ini yang berorder 3, karena 12=6.2 dan pembagi sekutu terbesar dari 2 dan 3 adalah satu (berdasarkan lemma di atas).

Sekarang kita telah mengetahui semua subgrup yang dibangun oleh 0,1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16, dan 17. sehingga kita hanya perlu mencari subgrup mana yang dibangun oleh 3,9, dan 15.

<3> = {0,3,6,9,12,15}

dan 15 juga membangun subgrup yang berorder 6 ini, karena 15 = 5.3 dan pembagi sekutu terbesar dari 5 dan 6 adalah 1. dan terakhir,

<9> ={0,9}

Jadi semua subgrup dari Z18 ialah

<2> = {0,2,4,6,8,10,12,14,16}

<3> = {0,3,6,9,12,15}

<6> = {0,6,12}

9> ={0,9}

Dan tak lupa bahwa Z18 merupakan subgrup dari dirinya sendiri, dan <e> dalam hal ini sama dengan <0> adalah subgrup triavial.

Adapun diagram lattice-nya seperti gambar di bawah ini:

Untuk membuat diagram lattice suatu grup siklik dengan lebih mudah, tanpa menentukan subgrup-subgrupnya satu per satu.

Sehingga untuk Z11, Z12 dan Z38 diagram lattice-nya seperti pada gambar di bawah ini.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: