Isomorfisma

Grup yang isomorf ialah grup yang identik kecuali pada nama elemen dan cara pengoprasiannya. Kita menamai ulang elemen dua buah grup (grup A dan A’), yaitu a di A dengan elemen tertentu a’ di A’. Namun yang harus siperhatikan ialah definisinya, maka kita harus kembalikan permasalahannya kepada definisi. Dimana isomorfisma didefinisikan sebagai:

Sebuah isomorfisma dari grup G ke G’ adalah sebuah fungsi yang bersfat satu-satu pada dari G ke G’ dan untuk setiap  x dan y di G’ berlaku

(xy)φ =(xφ)(yφ)

Grup G dan G’ kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi G ≈ G’.

Teorema yang pertama

Jika Φ: G → G’ suatu isomorfisma dari G ke G’, dan e adalah ientitas dari G maka eΦ identitas dari G’. Dan juga

a-1Φ = (aΦ)-1 untuk semua a Є G

Dalam bahasa Indonesia maksudnya adalah suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers ke invers.

Teorema  kedua

Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.

Teorema ketiga

(Cayley)  Setiap grup isomorf pada suatu grup permutasi.

Langkah-langkah menunjukkan dua grup (A dan A’) isomorf

Langkah 1

Definisikan fungsi φ yang akan memberikan suatu isomorfisma dari A keA’.  Ini berarti kamu mesti mendeskripsikan (dengan cara tertentu) berupa apa xφ di untuk semua x di .

LANGKAH 2

Tunjukkan φ satu-satu

LANGKAH 3

Tunjukkan φ pada

LANGKAH 4

Tunjukkan (xy)φ =(xφ)(yφ) untuk semua x,y Є G. Ini hanya sekedar menghitung saja kan.

Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf

Tidak semua grup itu isomorf, kadang kala ada pula yang tidak merupakan isomorfisma. Cara yang paling mudah untuk melihat dua buah grup isomorf atau tidak, yaitu dengan melihat jumlah anggotanya, apabila jumlah anggotanya berbeda, pasti bukan suatu isomorfisma. Tapi ada juga yang jumlah anggotanya sama, namun tidak isomorf.

Suatu struktur dari sebuah grup mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Berikut ini akan ditunjukkan beberapa struktur dan nonstruktur dari sebuah grup.

Struktur dari sebuah grup

-         Grupnya siklik

-         Grupnya komutatif

-         Order grup 8

Nonstruktur dari sebuah grup

-         Grup memuat 5

-         Semua elemen dari grup adalah angka

-         Grup ini subgrup dari (R, +)

Contoh grup yang isomorfisma dan yang bukan isomorfisma

  • Grup Z dan 3Z atas operasi jumlah (adalah suatu isomorfisma).
  • Grup R* atas operasi kali tidak isomorf dengan  terhadap operasi jumlah.
  • Grup Z dan Q, keduanya terhadap operasi jumlah  (adalah bukan suatu isomorfisma)
About these ads

2 Responses to “Isomorfisma”


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: